Câu 1.
Ta có \({m^2}x + 1 = 3x + m\left( {1 - 2x} \right) \)
\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m - 3} \right)x = m - 1\) .
\({m^2} + 2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - 3\end{array} \right.\)
Phương trình có một nghiệm \(x = \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 2m - 3}} = \dfrac{1}{{m + 3}}\)
\({m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\)
+ Với \(m= 1\), phương trình trở thành \(0x= 0\). Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
+ Với \(m= -3\), phương trình trở thành \(0x= -4\). Phương trình vô nghiệm.
Kết luận
\(m \ne 1\) và \(m \ne - 3\) : Phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{1}{{m + 3}}} \right\}\) .
\(m = 1\) : Phương trình có tập nghiệm .
\(m = - 3\) : Phương trình có tập nghiệm \(S = \emptyset \) .
Câu 2.
Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + m + 3 = 0\) .
Xét các trường hợp
+ \(m=0\): Phương trình trở thành \(4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}\) (loại).
+ \(m \ne 0\) : \(\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) = - m + 4\) .
Phương trình có đúng một nghiệm âm khi xảy ra một trong các trường hợp sau
+ \({x_1} = {x_2} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\S < 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 0\\\dfrac{{2\left( {m - 2} \right)}}{m} < 0\end{array} \right.\) vô nghiệm.
+ \(\begin{array}{l}{x_1} < 0 < {x_2} \Leftrightarrow P < 0\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \dfrac{{m - 3}}{m} < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 3\end{array}\) .
+ \({x_1} < 0 = {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 0\\S < 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{m - 3}}{m}\\\dfrac{{2\left( {m - 2} \right)}}{m} < 0\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Tóm lại phương trình có đúng một nghiệm âm khi \(m \in \left( {0;3} \right)\) .
