Câu 1.
Cách 1. Đường thẳng \(\Delta : - x + y + 2 = 0\) qua điểm \(I\left( {2;0} \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)\) . Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = t \hfill \cr} \right.\) . Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ \(\left( {2 + t;t} \right)\) . M cách đều A và B nghĩa là
\(MA = MB \)
\(\Leftrightarrow {\left( { - 4 - t} \right)^2} + {\left( {4 - t} \right)^2} = {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( {0 - t} \right)^2} \)
\(\Leftrightarrow t = - 7\) .
Vậy \(M = (-5;-7)\)
Cách 2. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4} \right)\) và trung điểm của AB là \(I\left( {1;2} \right)\). Phương trình đường trung trực d của AB là \(6\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \)\(\,\Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0\) .
Điểm \(M \in \Delta \) cách đều A và B là giao điểm của \(\Delta \) và d có tọa độ thỏa mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ - x + y + 2 = 0 \hfill \cr 3x - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 5 \hfill \cr y = - 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) .
Vậy \(M\left( { - 5; - 7} \right)\)
Câu 2.
Nhận xét điểm \(A\left( {1;4} \right)\) không thuộc hai đường thẳng đã cho.
Đỉnh C của hình bình hành là giao điểm của hai đường thẳng đã cho nên có tọa độ thỏa mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ 5x + 2y + 6 = 0 \hfill \cr 3x - y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 3 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành
\(5\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow 5x + 2y - 3 = 0\).
\(3\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 4} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow 3x - y + 7 = 0\).
Tọa độ các đỉnh còn lại thỏa mãn các hệ
\(\left\{ \matrix{ 5x + 2y + 6 = 0 \hfill \cr 3x - y + 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {{20} \over {11}} \hfill \cr y = {{17} \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
\(\left\{ \matrix{ 3x - y - 3 = 0 \hfill \cr 5x + 2y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {9 \over {11}} \hfill \cr y = - {6 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy các đỉnh còn lại của hình bình hành là \(\left( {0; - 3} \right),\left( { - \dfrac{{20}}{{11}};\dfrac{{17}}{{11}}} \right),\left( {\dfrac{9}{{11}}; - \dfrac{6}{{11}}} \right).\)
