Đề số 13 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 8

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm): Hãy chọn đáp án đúng trong các câu sau:

Câu 1 : Phép nhân \(5x(3{x^2} - 4x + 2)\) được kết quả là

A.\(15{x^3} - 20{x^2} + 2\)

B.\(15{x^3} + 20{x^2} + 10x\)

C.\(15{x^3} - 20{x^2} + 10x\)

D.\(15{x^3} - 4x + 2\)

Câu 2 : Thực hiện phép chia \(\left( {{x^2} + 2017x} \right):\left( {x + 2017} \right)\) ta được kết quả là:

A.\(x\)                                      B.\(2x\)

C.\(2\)                                      D.\(2 + x\)

Câu 3 : Chọn câu phát biểu sai?

A.Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.               

B.Hình vuông là hình có trục đối xứng và có tâm đối xứng.                         

C.Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.                      

D. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

Câu 4 : Nếu tăng độ dài của một hình vuông lên \(3\)lần thì diện tích hình vuông đó tăng lên mấy lần?

A.\(3\)lần                                 B.\(6\)lần        

C.\(9\)lần                                 D.\(12\)lần

II. Phần tự luận (8 điểm):

Câu 5 .

a) Tính giá trị của biểu thức \(B = {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4\) tại \(x = 99\) và \(y = 102\).

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(2{x^2} - 2{y^2} + 16x + 32\).

c) Tìm \(x\) biết: \({x^2} - 3x + 2x - 6 = 0\).

Câu 6 .

a) Rút gọn phân thức: \(P = \dfrac{{9 - {x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\).

b) Thực hiện phép tính: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} + \dfrac{2}{{x + 1}}\).

Câu 7 .

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(M\) bất kì. Gọi \(D,E\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) xuống cạnh \(AB\) và \(AC\).

a) Tứ giác \(ADME\) là hình gì? Vì sao?

b) Điểm \(M\) ở vị trí nào trên cạnh \(BC\) để tứ giác \(ADME\) là hình vuông?

c) Gọi \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(BM\) và \(K\) là trung điểm đoạn thẳng \(CM\)và tứ giác \(DEKI\) là hình bình hành. Chứng minh rằng \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Câu 8 .

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {x^4} + {x^2} - 6x + 9\).

b) Chứng minh rằng \({n^2} + 11n + 39\) không chia hết cho \(49\) với mọi số tự nhiên \(n\) .

I. Trắc nghiệm

 II. TỰ LUẬN: (7 điểm)

 Câu 5:

a) \(B = {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 \)

\(= \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) \)

\(= {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\)

Thay\(x = 99\) và \(y = 102\)vào biểu thức ta được:

\(B = {(99 + 1)^2} + {(102 - 2)^2} \)\(\,= {100^2} + {100^2} = 10000 + 10000 = 20000\)

Vậy giá trị của biểu thức \(B = {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4\) tại \(x = 99\) và \(y = 102\) là \(20000\) .

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(\begin{array}{l}\;\;\;2{x^2} - 2{y^2} + 16x + 32\\ = 2\left( {{x^2} + 8{x^2} + 16 - {y^2}} \right)\\ = 2\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2} - {y^2}} \right]\\ = 2\left( {x + 4 - y} \right)\left( {x + 4 + y} \right).\end{array}\).

\(\begin{array}{l}c)\;{x^2} - 3x + 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x(x - 3) + 2(x - 3) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 3)(x + 2) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 2\end{array} \right.\,\end{array}\).

Vậy \(x = 3\) hoặc \(x =  - 2\).

Câu 6:

a) ĐKXĐ:\({x^2} - 3x \ne 0 \Leftrightarrow x(x - 3) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\) và \(x \ne 3\).

\(P = \dfrac{{9 - {x^2}}}{{{x^2} - 3x}} = \dfrac{{(3 - x)(3 + x)}}{{x(x - 3)}}\) \( = \dfrac{{ - (x - 3)(3 + x)}}{{x(x - 3)}} = \dfrac{{3 + x}}{x}\;\;\;\left( {x \ne 0,\;\;x \ne 3} \right).\).

\(\begin{array}{l}b)\;\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} + \dfrac{2}{{x + 1}}\;\;\;\left( {x \ne  - 1} \right)\\ = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} + \dfrac{{2(x + 1)}}{{(x + 1)(x + 1)}}\\ = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} + \dfrac{{2x + 2}}{{(x + 1)(x + 1)}}\\ = \dfrac{{{x^2} - 1 + 2x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 1\end{array}\)

Câu 7

a) Xét tứ giác \(ADME\) có:

\(\angle DAE = {90^0}\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

\(\angle ADM = {90^0}\) (vì \(MD \bot AB\) tại \(D\))

\(\angle AEM = {90^0}\) (vì \(ME \bot AC\) tại \(E\))

Suy ra tứ giác là \(ADME\) hình chữ nhật. (dhnb)

b) Để tứ giác \(ADME\) là hình vuông thì hình chữ nhật \(ADME\) có \(AM\) là tia phân giác của góc \(DAE\), suy ra điểm \(M\) là giao điểm của đường phân giác góc \(BAC\) với cạnh \(BC\) của \(\Delta ABC\).

c)

Theo giả thiết, tứ giác \(DEKI\) là hình bình hành nên \(DI = EK\).

Mà \(DI = \dfrac{1}{2}BM;\,\,EK = \dfrac{1}{2}CM\) (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, áp dụng vào tam giác \(BDM\) vuông tại \(D\), tam giác \(CEM\) vuông tại \(E\).)

Do đó \(BM = CM \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BC\)        (1)

Lại có  \(MD \bot AB\) và \(AC \bot AB\) nên \(MD//AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(D\) là trung điểm của cạnh \(AB\) (*)

Chứng minh tương tự ta có\(E\) là trung điểm của cạnh \(AC\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) (đpcm).

Câu 8

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x^4} + {x^2} - 6x + 9\\\,\,\,\,\, = \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) + \left( {3{x^2} - 6x + 3} \right) + 5\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 5\end{array}\).

Vì \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} \ge 0\) và \(3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên suy ra \(P \ge 5\) với mọi \(x\).

Dấu “=”  xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 0\\3{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) đã cho là \(5\), đạt được khi \(x = 1\).

b) Với \(n \in \mathbb{N}\) ta có:

\({n^2} + 11n + 39 = \left( {{n^2} + 11n + 18} \right) + 21 \)

\(= \left( {{n^2} + 2n + 9n + 18} \right) + 21\)

\(= \left[ {n(n + 2) + 9(n + 2)} \right] + 21 \)

\(= (n + 2)(n + 9) + 21\)

Vì \((n + 9) - (n + 2) = 7\) nên \(n + 9\) và \(n + 2\) có thể cùng chia hết cho \(7\) hoặc cùng số dư  khác \(0\) khi chia cho \(7\).

+) Nếu \(n + 9\) và \(n + 2\) có thể cùng chia hết cho \(7\) thì \((n + 2)(n + 9) \vdots 49\).

Mà \(21\) không chia hết cho \(49\) nên \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(49\).

+) Nếu \(n + 9\) và \(n + 2\) có cùng số dư  khác \(0\) khi chia cho \(7\) thì \((n + 2)(n + 9)\) không chia hết cho \(7\).

Mà \(21 \vdots 7\) nên \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(7\).

Do đó \((n + 2)(n + 9) + 21\) không chia hết cho \(49\).

Vậy \({n^2} + 11n + 39\) không chia hết cho \(49\) với mọi số tự nhiên \(n\)(đpcm).