Bài 1.
a) Điều kiện: \(x \ne \pm 1\) .
\({{{x^2} - x + 1} \over {{x^2} - 1}}:{{{x^3} + 1} \over {3x - 3}} = {{{x^2} - x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{3\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = {3 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
b) Điều kiện: \(x \ne \pm 1.\)
\({1 \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}} + {2 \over {1 - {x^2}}} = {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}} - {2 \over {{x^2} - 1}} = {{x - 1 + x + 1 - 2} \over {{x^2} - 1}}\)
\( = {{2x - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{2\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {2 \over {x + 1}}.\)
Bài 2. \(3a - 3b - {a^2} + 2ab - {b^2} = 3\left( {a - b} \right) - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) = 3\left( {a - b} \right) - {\left( {a - b} \right)^2}\)
\( = \left( {a - b} \right)\left( {3 - a + b} \right)\)
Bài 3.
a) Điều kiện: \(x \ne 0;x \ne \pm 2.\)
\(A = {{{x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)} \over {x\left( {{x^2} - 4} \right)}} = {{x{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {{x\left( {x - 2} \right)} \over {x + 2}}.\)
b) Điều kiện: \(x \ne 0\) và \({x^2} - 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\) và \(x \ne \pm 2\)
\(A = 0 \Rightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc x = 2.
(không thỏa mãn các điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 2\))
Vậy không có giá trị x để A = 0.
Bài 4.
\({x^4} - {x^3} + 6{x^2} - x + m \)\(\,= \left( {{x^2} - x + 5} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + m - 5\)
P chia hết cho Q khi \(m - 5 = 0 \Rightarrow m = 5.\)
Bài 5.
a) Ta có MA = MC (gt) ; MB = MF (gt)
Do đó AFCB là hình bình hành \( \Rightarrow AF\parallel BC\) và AF = BC.
Lại có E đối xứng với F qua A (gt) nên AE = AF.
\( \Rightarrow AE = BC\) và \(AE\parallel BC\) nên tứ giác ACBE là hình bình hành, mà N là trung điểm của đường chéo AB nên đường chéo thứ hai EC phải qua N. Hay E, N, C thẳng hàng.
b) Ta có \(BC\parallel {\rm{AF}}\) nên EBCF là hình thang.
Hình thang EBCF là hình thang cân \( \Leftrightarrow \widehat {BEF} = \widehat {CFE}\)
Mà \(\widehat {BEF} = \widehat {ACB},\widehat {CFE} = \widehat {ABC}\) (do ACBE và AFCB là các hình bình hành) \( \Leftrightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân tại A.
Bài 6.
a) Ta có: NB = NC (gt); ND = NA (gt) nên ABDC là hình hành có \(\widehat A = {90^ \circ }(gt) \Rightarrow ABDC\)là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tương tự ta có AECN là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Mặt khác \(\Delta ABC\) vuông có AN là trung tuyến nên \(AN = NC = {1 \over 2}BC.\)
Vậy tứ giác AECN là hình thoi.
c) Dễ thấy G và \(G'\) là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD nên \(BG = {2 \over 3}BN\) và \(CG' = {2 \over 3}CN\) mà \(BN = CN \Rightarrow BG = CG'.\)
d) Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)
Lại có: \(BG = GG' = CG'\) (tính chất trọng tâm)
\( \Rightarrow {S_{BGD}} = {S_{GG'D}} = {S_{G'CD}}\left( { = {1 \over 3}{S_{BCD}}} \right)\)
(chung đường cao kẻ từ D và đáy bằng nhau)
Mà \({S_{BCD}} = {S_{CBA}}\) (vì \(\Delta BCD = \Delta CBA\left( {c.c.c} \right)\) )
\( \Rightarrow {S_{DGG'}} = {1 \over 3}{S_{CBA}} = {1 \over 3}.24 = 8\left( {c{m^2}} \right).\)
