a) \(\left\{ \matrix{2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1 \hfill \cr \sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2 \hfill \cr} \right.\)
Điều kiện: \(x \geq 1\) và \(y \geq 1.\)
Đặt \(X = \sqrt {x - 1}\) (điều kiện \(X ≥ 0\))
\(Y = \sqrt {y - 1}\) (điều kiện \(Y ≥ 0\))
Thay vào phương trình ta được:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2X - Y = 1 \hfill \cr
X + Y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{\rm{X}} = 3 \hfill \cr
X + Y = 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X = 1 \, \, (tm)\hfill \cr
Y = 1 \, \, (tm) \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\sqrt {x - 1} = 1 \hfill \cr
\sqrt {y - 1} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 = 1 \hfill \cr
y - 1 = 1 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \, \, (tm)\hfill \cr
y = 2 \, \, (tm)\hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \((2;2)\) là nghiệm của hệ phương trình
b) \(\left\{ \matrix{{\left( {x - 1} \right)^2} - 2y = 2 \hfill \cr 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Đặt \(X = (x – 1)^2\)(điều kiện \(X ≥ 0\)). Khi đó:
\(\begin{array}{l}
Hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
X - 2y = 2\\
3X + 3y = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
X = 2 + 2y\\
3\left( {2 + 2y} \right) + 3y = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
X = 2 + 2y\\
6 + 6y + 3y = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
X = 2 + 2y\\
9y = - 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
X = 2 + 2y\\
y = - \dfrac{5}{9}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
X = \frac{8}{9}\;\;\left( {tm} \right)\\
y = - \frac{5}{9}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{8}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\
x - 1 = - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\
x = 1 - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}
\end{array} \right..
\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: \(\displaystyle \left( {1 + {{2\sqrt 2 } \over 3}; - {5 \over 9}} \right)\) và \(\displaystyle \left( {1 - {{2\sqrt 2 } \over 3}; - {5 \over 9}} \right)\)
