Giả sử \(M(2y_1^2\,;\,{y_1})\,\, \in \,\,(P)\,,\,\,N(2y_2^2\,;\,{y_2})\,\, \in \,\,(P)\) trong đó \({y_1},\,{y_2}\, \ne 0\) và \({y_1} \ne \,{y_2}\) vì \(\overrightarrow {OM} .\,\overrightarrow {ON} = 0\) nên \(4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0\)
suy ra \(4{y_1}{y_2} + 1 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{y_1}{y_2} = - {1 \over 4}\)
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2y_2^2 - 2y_1^2\,;\,{y_2} - {y_1}} \right) \)
\(= \left( {{y_2} - {y_1}} \right).\left( {2{y_2} + 2{y_1}\,;\,1} \right)\)
Vì \({y_1} \ne \,{y_2}\) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là \((2{y_1} + 2{y_2}\,;\,1)\) .
Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là \(\overrightarrow n = (1\,;\, - 2{y_1} - 2{y_2})\)
Phương trình tổng quát của MN là
\(1.(x - 2y_1^2) - (2{y_1} + 2{y_2}).(y - {y_1}) = 0\)
Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay \(y=0\) vào (*) ta được
\(x - 2y_1^2 + 2y_1^2 + 2{y_1}{y_2} = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x = {1 \over 2}\)
Vậy MN đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2}\,;\,0} \right)\) cố định.