Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), có \(\widehat{ACB}=\alpha\).
a) \(\Delta{ABC}\), vuông tại \(A\), theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:
\(\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}\), \(\cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}\)
\(\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}\), \(\cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}\).
* Chứng minh \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
\(VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} : \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}\)
\(=\dfrac{AB.BC}{BC.AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT\)
(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)
* Chứng minh \( \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\).
\(VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}\)
\(=\dfrac{AC.BC}{BC.AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT\)
* Chứng minh \(\tan \alpha . \cot \alpha =1\).
Ta có: \(VT=\tan \alpha . \cot \alpha \)
\(= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP\)
b) \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), áp dụng định lí Pytago, ta được:
\(BC^2=AC^2+AB^2\) (1)
Xét \(\sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha \)
\(\;\;\;={\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2}+ {\left(\dfrac{AC}{AB} \right)^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}\)
\(\;\;\;=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}\) (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
\(\displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} \over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1 \)
Như vậy \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) (điều phải chứng minh)
Nhận xét: Ba hệ thức:
\(\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\); \(\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) và \(\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\) là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.
