Bài 3.10 trang 104 SBT hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

a) Ta có  \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)   (1)

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)         (2)

\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \)        (3)

Lấy  (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí:  “Nếu tứ diện ABCD có  \(AB \bot CD,AC \bot DB\) , nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  = 0\) thì \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)  và do đó  \(AD \bot BC\).”