Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.
Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là: \(AB.AD = 2a^2\) (1)
Chu vi hình chữ nhật là: \(2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a\) (2)
Từ (1) và (2), ta có \(AB\) và \(CD\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2}-{\rm{ }}3ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2{a^2} = {\rm{ }}0\)
Giải phương trình ta được: \({x_1} = {\rm{ }}2a;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}a\)
Theo giả thiết \(AB > AD\) nên ta chọn \(AB = 2a; AD = a\)
Khi quay hình chữ nhật quanh \(AB\) ta được hình trụ có \(h=AB=2a\) và \(r=AD=a.\)
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:
\({S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .a.2a = 4{\rm{ }}\pi {a^2}\)
Thể tích hình trụ là:
\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}A{D^2}.{\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{a^2}.{\rm{ }}2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {a^3}\)
