Khi quay hình vẽ quanh trục \(GO\) ta được:
a) Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông \(ABCD\) là:
\(\displaystyle V = \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2}.BC\) với \(BC=AB = \sqrt {OA^2+OB^2}=\sqrt {2R^2}=R\sqrt2.\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow V = \pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}.R\sqrt 2 \cr
& = \pi .{{2{{\rm{R}}^2}} \over 4}.R\sqrt 2 = {{\pi {{\rm{R}}^3}\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \Rightarrow {V^2} = \left( {{{\pi {R^3}\sqrt 2 } \over 2}2} \right) = {{2{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(1) \cr}\)
Thể tích hình cầu có bán kính \(R\) là: \(\displaystyle {V_1} = {4 \over 3}\pi {R^3}\)
Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng \(\displaystyle {{EF} \over 2}\) là:
\(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}.GH\)
Với \(EF = R\sqrt3\) (cạnh tam giác đều nội tiếp trong đường tròn \((O;R)\))
và \(\displaystyle GH = {{EF\sqrt 3 } \over 2} = {{R\sqrt {3.} \sqrt 3 } \over 2} = {{3R} \over 2}\)
Thay vào V2, ta có: \(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.{{3{\rm{R}}} \over 2} = {3 \over 8}\pi {R^3}\)
Ta có: \(\displaystyle {V_1}{V_2} = {4 \over 3}\pi {R^3}.{3 \over 8}\pi {R^3} = {{{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(2)\)
So sánh (1) và (2) ta được : \({V^2} = {V_1}.{V_2}\)
b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính \(\displaystyle {{AB} \over 2}\) là:
\(\eqalign{
& S = 2\pi \left( {{{AB} \over 2}} \right).BC + 2\pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi .{{R\sqrt 2 } \over 2}R\sqrt 2 + 2\pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi {R^2} + \pi {R^2} = 3\pi {R^2} \cr
& \Rightarrow {S^2} = {\left( {3\pi {R^2}} \right)^2} = 9{\pi ^2}.{R^4}(1) \cr} \)
Diện tích mặt cầu có bán kính \(R\) là: \({S_1} = {\rm{ }}4\pi {R^2}\) (2)
Diện tích toàn phần của hình nón là:
\(\displaystyle {S_2} = \pi {{EF} \over 2}.FG + \pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}\)
\(\displaystyle = \pi {{R\sqrt 3 } \over 2}.R\sqrt 3 + \pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{9\pi {R^2}} \over 4}\)
Ta có: \(\displaystyle {S_1}{S_2} = 4\pi {R^2}.{{9\pi {R^2}} \over 4} = 9{\pi ^2}{R^4}(2)\)
So sánh (1) và (2) ta có: \({S^2} = {\rm{ }}{S_1}.{\rm{ }}{S_2}\)
