a) \(\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{5\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \) \(\displaystyle = {{5\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)
\(\displaystyle \Rightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) \)\(\displaystyle= 5\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + x + 1 = 5{x^2} - 10x + 5 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} - 5{x^2} + 2x + x + 10x + 1 - 5 \) \(= 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow - 3{x^2} + 13x - 4 = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 12x + 4 = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x\left( {3x - 1} \right) - 4\left( {3x - 1} \right) = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x - 4 = 0\) hoặc \(3x - 1 = 0\)
+) Với \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn)
+) Với \(3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm \( \displaystyle S = \left\{4; \dfrac{1}{3}\right \}.\)
b) \(\dfrac{{x - 3}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 2}}{{x - 4}} = - 1\)
ĐKXĐ: \(x \ne 2\) và \(x \ne 4\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} + {{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} \) \(\displaystyle = - {{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} \)
\(\displaystyle \Rightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) \) \( = - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) \)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3x + 12 + {x^2} - 2x \) \( - 2x + 4 = - {x^2} + 4x + 2x - 8 \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 17x + 24 = 0 \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 9x - 8x + 24 = 0 \) \( \Leftrightarrow 3x\left( {x - 3} \right) - 8\left( {x - 3} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \left( {3x - 8} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow 3x - 8 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)
+ Với \(3x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{8}{3}\) (thỏa mãn)
+ Với \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm \( \displaystyle S = \left\{ \dfrac{8}{3};3\right \}.\)
LG câu c, d
Phương pháp:
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận.
Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
c) \(\dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{{2{x^2} - 5}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{4}{{{x^2} + x + 1}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 1\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{{x^2} + x + 1} \over {{x^3} - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {{4\left( {x - 1} \right)} \over {{x^3} - 1}} \)
\( \Rightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4\left( {x - 1} \right) \)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4x - 4 \)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2{x^2} + x - 4x = - 4 + 5 - 1 \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (loại)
Vậy phương trình có tập nghiệm \( \displaystyle S = \left\{0\right \}.\)
d) \(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}} = \dfrac{6}{{{x^2} - 9}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\) và \(x = - \dfrac{7}{2}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{13\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} \) \(\displaystyle+ {{{x^2} - 9} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} \) \(\displaystyle= {{6\left( {2x + 7} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} \)
\( \Rightarrow 13\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 9 = 6\left( {2x + 7} \right) \)
\( \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42 \)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4x - 12 = 0 \)
\( \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 4\left( {x - 3} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x + 4 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)
+ Với \(x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 4\) (thỏa mãn)
+ Với \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (loại)
Vậy phương trình có tập nghiệm \( \displaystyle S = \left\{-4\right \}.\)
