a) Ta có: \(\displaystyle x + {1 \over {1 + \displaystyle {{x + 1} \over {x - 2}}}} \) \(\displaystyle= x + {{x - 2} \over {2x - 1}} \) \(\displaystyle= {{2\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2x - 1}}\)
ĐKXĐ của phương trình là \(\displaystyle x \ne 2,x \ne {1 \over 2},x \ne \pm 1,x \ne {1 \over 3}\).
Phương trình đã cho trở thành: \(\dfrac{2}{{\dfrac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2x - 1}}}} = \dfrac{6}{{3x - 1}}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle{{2x - 1} \over {{x^2} - 1}} = {6 \over {3x - 1}}\).
Khử mẫu và rút gọn:
\(\displaystyle\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow - 5x + 1 = - 6 \cr & \Leftrightarrow x = {7 \over 5} \cr} \)
Giá trị \(\displaystyle x = {7 \over 5}\) thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình có tập nghiệm là \( \displaystyle S = \left\{ {7 \over 5} \right \}.\)
b) Cách 1. ĐKXĐ: \(\displaystyle x \ne \pm 1\). Biến đổi vế trái thành \(\displaystyle{{4x} \over {{x^2} - 1}}.{{x - 1} \over {2x}} = {2 \over {x + 1}}\), ta đưa phương trình đã cho về dạng \(\displaystyle{2 \over {x + 1}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\).
Giải phương trình này bằng cách khử mẫu :
\(\displaystyle\eqalign{ & 4\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(\displaystyle x = 5\)
Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có \(x = 5\) là thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(x = 5\).
Cách 2. Đặt \(\displaystyle{{x + 1} \over {x - 1}} = y\), ta có phương trình \(\displaystyle{{y - {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}\). ĐKXĐ của phương trình này là \(\displaystyle y \ne 0\) và \(\displaystyle y \ne - 1\). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu :
\(\displaystyle\eqalign{ & 2{y^2} - 2 = 1 + y \cr & \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} - 1} \right) - \left( {y + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {2y - 3} \right) = 0 \cr} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow y = - 1\) hoặc \(\displaystyle y = {3 \over 2}\)
Trong hai giá trị tìm được, chỉ có \(\displaystyle y = {3 \over 2}\) là thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\displaystyle{{x + 1} \over {x - 1}} = {3 \over 2}\)
Giải phương trình này ta được \(x = 5\).
Vậy phương trình có tập nghiệm là \( \displaystyle S = \left\{ 5 \right \}.\)
LG câu c
Phương pháp :
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận.
Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
c) ĐKXĐ: \(\displaystyle x \ne \left\{ {0; - 1; - 2; - 3} \right\}\). Ta biến đổi phương trình như sau :
\(\displaystyle {5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {{5 \over x} + 1} \right) + \left( {{4 \over {x + 1}} + 1} \right) \) \(\displaystyle = \left( {{3 \over {x + 2}} + 1} \right) + \left( {{2 \over {x + 3}} + 1} \right) \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 1}} = {{5 + x} \over {x + 2}} + {{5 + x} \over {x + 3}} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right) \) \(.\displaystyle \left( {{1 \over x} - {1 \over {x + 3}} + {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}}} \right) = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 5 + x = 0\,\,\,\,\,(1) \)
hoặc \(\displaystyle{1 \over x} - {1 \over {x + 3}} + {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}} = 0\) \((2)\)
Ta có:
\((1)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x = - 5\)
\((2)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {1 \over x} + {1 \over {x + 3}} = {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\).\(\displaystyle \left( {{1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}}} \right) = 0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\) hoặc \(\displaystyle{1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\)
+) Với \(\displaystyle2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - {3 \over 2}\)
+) Với \(\displaystyle{1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle{1 \over {{x^2} + 3x}} ={1 \over {{x^2} + 3x + 2}} \)
\(\Rightarrow x^2 + 3x=x^2 + 3x+2\)
\(\Leftrightarrow 0=2\) (vô lý)
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\displaystyle S = \left\{ { - 5; - {3 \over 2}} \right\}.\)
