a) Với \(m = 2\) ta có: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)TXĐ: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr
& y' = 4{x^3} - 6x;\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( 0 \right) = 2;\,y\left( { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right) = - {1 \over 4} \cr} \)
Bảng biến thiên:
\(y'' = 12{x^2} - 6;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)
Đồ thị có hai điểm uốn : \({I_1}\left( { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\) và \({I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)
Điểm đặc biệt
\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} = 1 \hfill \cr {x^2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \pm 1 \hfill \cr x = \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi
\({y_o} = x_o^4 - \left( {m + 1} \right)x_o^2 + m \Leftrightarrow \left( {1 - x_o^2} \right)m + x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Đồ thị đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) với moi giá trị của \(m\) khi và chỉ khi phương trình \((1)\) nghiệm đúng với mọi \(m\), tức là:
\(\left\{ \matrix{ 1 - x_o^2 = 0 \hfill \cr x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_o} = 1 \hfill \cr {y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\left\{ \matrix{ {x_o} = - 1 \hfill \cr {y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định \((-1;0)\) và \((1;0)\).
