Giả sử \(A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})\)
\(A'\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(-4 = \frac{1}{2} (x_B+ x_C)\)
\(\Rightarrow {x_B} + {x_C} = - 8\) (1)
Tương tự ta có \({x_A} + {x_C} = 4\) (2)
\({x_B} + {x_A} = 4\) (3)
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:
\(\left\{ \matrix{
{x_A} = 8 \hfill \cr
{x_B} = - 4 \hfill \cr
x{}_C = - 4 \hfill \cr} \right.\)
Tương tự ta tính được:
\(\left\{ \matrix{
{y_A} = 1 \hfill \cr
{y_B} = - 5 \hfill \cr
y{}_C = 7 \hfill \cr} \right.\)
Gọi \(G({x_G};y{}_G)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)
Khi đó ta có:
$$\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.$$
Vậy \(G(0;1)\) (*)
Gọi \(G'({x_{G'}};y{}_{G'})\) là trong tâm của tam giác \(A'B'C'\)
Khi đó ta có:
$$\left\{ \matrix{ {x_{G'}} = {{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr {y_{G'}} = {{{y_{A'}} + {y_{B'}} + y{}_{C'}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.$$
Vậy \(G'(0;1)\) (2*)
Từ (*) và (2*) ta thấy \(G \equiv G'\)
Vậy trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.
