Câu 33 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài 33. Cho cấp số nhân (u_n) với công bội \(q ≠ 0\) và \({u_1} \ne 0\). Cho các số nguyên dương m và k, với \(m ≥ k\). Chứng minh rằng \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)

Áp dụng 

a. Tìm công bội q của cấp số nhân (u_n) có \({u_4} = 2\) và \({u_7} =  - 686\).

b. Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (u_n) mà \({u_2} = 5\) và \({u_{22}} =  - 2000\) ?

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_m} = {u_1}.{q^{m - 1}}\,\,\left( 1 \right) \cr
& {u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Lấy (1) chia (2) ta được :

\({{{u_m}} \over {{u_k}}} = {q^{m - k}} \Rightarrow {u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)

Áp dụng :

a. Ta có:

\({{{u_7}} \over {{u_4}}} = {q^{7 - 4}} \Rightarrow {q^3} = - 343 \Rightarrow q = - 7\)

b. Không tồn tại

\({q^{20}} = {{{u_{22}}} \over {{u_2}}} = {{ - 2000} \over 5} < 0,\) vô lí.