Câu 1.
a. \(\dfrac{1 }{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) \)
\(= \dfrac{1 }{ 2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PD} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PC} } \right)\)
\( = \dfrac{1 }{ 2}\left( {2\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right)\)
\(= \overrightarrow {MP} \)
b. Theo tính chất đường trung bình \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{ 2}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1 }{2}\overrightarrow {AC} \) .
Gọi G là trọng tâm tam giác ANP. Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \) .
Suy ra:
\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} \)
\(= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \)
\( = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {AC} - \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {AC} - \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)
Vậy G là trọng tâm tam giác CNQ.
Câu 2.
Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow 0 \cr & {\rm{ }} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \cr} \) .
Suy ra I là điểm trên cạnh AB sao cho \(AI = \dfrac{2 }{ 3}AB\).
Gọi K là trung điểm AB. Ta có
\(\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JK} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {JK} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra J là trung điểm KC.
Câu 3.
Gọi O là trung điểm AB.
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| \)
\(\Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MO} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\)
\(\Leftrightarrow MO = \dfrac{1 }{ 2}AB\) .
M cách O cố định một đoạn không đổi bằng \(\dfrac{1 }{ 2}AB\) nên tập hợp các điểm M là đường trong tâm O bán kính \(\dfrac{1 }{2}AB\) hay có đường kính là AB.
Câu 4.
a.Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3} \right)\) .
Mà \(\dfrac{{ - 4}}{{ - 4}} \ne \dfrac{{ - 4}}{{ - 3}}\) . Suy ra \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.
Vậy A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b.Gọi M là trung điểm BC. Tọa độ của M là \(\left( {\dfrac{{{x_B} + {x_c}}}{2};\dfrac{{{y_B} + {y_C}}}{2}} \right) = \left( {1; - \dfrac{3}{2}} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {0; - {7 \over 2}} \right)\) .
c. ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \) .
Mà \(\overrightarrow {DC} = \left( {5 - {x_D}; - 1 - {y_D}} \right),\)\(\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 4, - 4} \right)\) .
Do đó \(\left\{ \matrix{ 5 - {x_D} = - 4 \hfill \cr - 1 - {y_D} = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = 9 \hfill \cr {y_D} = 3 \hfill \cr} \right.\) .
Vậy \(D = \left( {9;3} \right)\) .
