Câu 1.
a.Ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow 0 \cr & {\rm{ }} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA} + 2\overleftarrow {AB} = \overrightarrow 0 \cr & {\rm{ }} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \cr} \) .
Suy ra M là điểm trên cạnh AB sao cho \(AM = {2 \over 3}AB\) .
Tương tự, N là điểm trên cạnh BC sao cho \(BN = {2 \over 3}BC\) , P là điểm trên cạnh CA sao cho \(CP = {2 \over 3}CA\) .
b.Ta có
\(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \)
\(\;= \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CP} \)
\( \;= \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \dfrac{2 }{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC} + {2 \over 3}\overrightarrow {CA} \)
\(\eqalign{ & = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + {2 \over 3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) \cr & = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \cr} \)
Câu 2.
Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {BD} = {1 \over 4}\overrightarrow {BC}\cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cr & {\rm{ }} \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = {3 \over 4}\overrightarrow {AB} + {1 \over 4}\overrightarrow {AC} \cr} \)
Câu 3.
Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AC.
Ta có
\(\eqalign{ & \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = BC \cr & {\rm{ }} = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {25 + 144} = 13 \cr} \) .
\(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {BN} } \right| = 2BN \)\(\,= \sqrt {A{B^2} + A{N^2}} = \sqrt {25 + 36} = \sqrt {61} \) .
Câu 4
a.Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2,4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 1} \right)\) . Suy ra \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.
Vậy A, B, C không thẳng hàng.
b. Ta có \(\left\{ \matrix{ {x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{5}{3} \hfill \cr {y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(G = \left( \dfrac{5}{3}; - 1 \right)\) .
c. Ta có \(\left\{ \matrix{ {x_C} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3} \hfill \cr {y_C} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}\hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = 3{x_C} - {x_A} - {x_B} = 15 \hfill \cr {y_D} = 3{y_C} - {y_A} - {y_B} = - 9 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(D = \left( {15; - 9} \right)\) .
