a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(f(x) = x^2-x -2 =0 ⇔(x+1)(x-2)=0 \\ ⇔\left[ \begin{array}{l}x + 1=0\\x - 2=0\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right..\)
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S=\int_{-1}^{2}\left |x^{2}- x- 2 \right |dx = \left | \int_{-1}^{2}\left (x^{2}- x- 2 \right ) dx \right |\)
\(=\left |\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}-2x|_{-1}^{2} \right |=\left |\dfrac{8}{3}-2-4-(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2) \right |\) \(=\dfrac{9}{2}\) (đvdt).
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(f(x) = 1 - |\ln x| = 0 ⇔ \ln x = ± 1\) \(⇔\left[ \begin{array}{l}x = e\\x = \dfrac{1}{e}\end{array} \right..\)
Ta có: \(y = |\ln x| = \ln x\) nếu \(\ln x ≥ 0\), tức là \(x ≥ 1\).
hoặc \(y = |\ln x| = - \ln x\) nếu \(\ln x < 0\), tức là \(0 < x < 1\).
Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :
\(S=\int_{\frac{1}{e}}^{e}|1- |\ln x||dx =\int_{\frac{1}{e}}^{1}(1+\ln x)dx +\int_{1}^{e}(1-\ln x)dx\)
\(= x|_{\frac{1}{e}}^{1}+\int_{\frac{1}{e}}^{1}\ln xdx +x|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\ln xdx\)
\(=-\dfrac{1}{e}+e+\int_{\frac{1}{e}}^{1}\ln x dx-\int_{1}^{e}\ln xdx\)
Tính \(\int {\ln xdx} \) ta có:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)
Do đó \(∫\ln xdx = x\ln x - ∫dx = x\ln x – x + C\), thay vào trên ta được:
\(S=e-\dfrac{1}{e}+(x\ln x-x)|_{\frac{1}{e}}^{1}- (x\ln x-x)|_{1}^{e}=e+\dfrac{1}{e}-2\) (đvdt).
c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(f\left( x \right) =6x-{x^2}-{\left( {x -6} \right)^2} = - 2({x^2}-9x+ 18)=0\)
\(⇔ - 2({x^2}-9x+ 18) ⇔ (x-3)(x-6)=0\\⇔ \left[ \begin{array}{l}x - 3=0\\x - 6=0\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 6\end{array} \right..\)
Diện tích cần tìm là:
\(S=\int_{3}^{6}|-2(x^{2}-9x+18)|dx\) \(=|2\int_{3}^{6}(x^{2}-9x+18)dx|\)
\(=\left |2(\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{9}{2}x^{2}+18x)|_{3}^{6} \right | \\ =45-36=9 \, \, (đvdt)\).
