a) Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực \(R\)
Hàm số \(F(x)\) gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(K\) nếu \(∀x ∈ K\) ta có \(F’(x) = f(x).\)
b) Phương pháp nguyên hàm từng phần
Sử dụng công thức: \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \) hoặc \(\int {u(x).v'(x)dx = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx} } \)
Ta cần chú ý các cách đặt thường xuyên như sau:
|
|
\(\int {P(x){e^x}dx} \)
|
\(\int {P(x)\sin xdx} \)
|
\(\int P(x)cosx dx \) |
\(\int P(x)lnx dx \)
|
|
\(u\)
|
\(P(x)\)
|
\(P(x)\)
|
\(P(x)\)
|
\(ln(x)\)
|
|
\(dv\)
|
\(e^xdx\)
|
\(sinxdx\)
|
\(cosx dx\)
|
\(P(x) dx\)
|
Ví dụ:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = (3x^3- 2x) lnx\)
Giải
Đặt \(\displaystyle u = lnx\Rightarrow u' = {1 \over x}\)
\( \displaystyle v' = 3{x^3} - 2x \Rightarrow v = {3 \over 4}{x^4} - {x^2}. \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \int {f(x)dx = ({3 \over 4}} {x^4} - {x^2})\ln x - \int ({{3 \over 4}} {x^3} - x)dx \cr
& = ({3 \over 4}{x^4} - {x^2})\ln x - {3 \over {16}}{x^4} + {1 \over 2}{x^2} + C \cr} \)
Chú ý:
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần dựa trên cơ sở định lí:
Nếu hai hàm số \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) có đạo hàm liên tục trên K thì :
\(\int {u(x).v'(x)dx = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx} } \) (3)
Để tính nguyên hàm từng phần ta cần phân tích \(f(x)\) thành \(g(x).h(x)\),
- Chọn một nhân tử đặt bằng \(u\) còn nhân tử kia đặt là \(v’\)
- Tìm \(u’\) và \(v\),
- Áp dụng công thức trên, ta đưa nguyên hàm ban đầu về một nguyên hàm mới đơn giản hơn.
