a) \(y = x - \sin x, x ∈ [0; 2π]\).
\(y' = 1 - \cos x≥ 0 \) với mọi \(x ∈ [0; 2π]\)
Dấu “=” xảy ra chỉ tại \(x = 0 \) và \(x = 2π\).
Vậy hàm số đồng biến trên đoạn \([0; 2π]\).
b) Xét hàm số \(y = \sin {1 \over x}\) với \(x > 0\).
\(y' = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}\)
Với \(x>0\) ta có:
\({1 \over {{x^2}}}( - \cos {1 \over x}) > 0\) ⟺ \(\cos {1 \over x}\) < 0
⟺ \({\pi \over 2}(1 + 4k) < {1 \over x} < {\pi \over 2}(3 + 4k)\) ,k = 0, 1, 2 ….
⟺ \({2 \over {\pi (1 + 4k)}} > x > {2 \over {\pi (3 + 4k)}}\) , k = 0, 1, 2 ……..
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng
\(....,({2 \over {(4k + 3)\pi }};{2 \over {(4k + 1)\pi }}),({2 \over {(4k - 1)\pi }};{2 \over {(4k - 3)\pi }}),.....,\) \(({2 \over {7\pi }};{2 \over {5\pi }}),({2 \over {3\pi }};{2 \over \pi })\)
và nghịch biến trên các khoảng
……, \(({2 \over {(4k + 1)\pi }};{2 \over {(4k - 1)\pi }}),({2 \over {5\pi }};{2 \over {3\pi }}),.....,({2 \over \pi }; + \infty )\)
với k = 0, 1, 2 …
