Gọi \(G\) là giao điểm của \(AK, BM\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AK} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow u \cr
& \overrightarrow {GB} = - \overrightarrow {BG} = - {2 \over 3}\overrightarrow {BM} = - {2 \over 3}\overrightarrow v \cr} \)
Theo quy tắc \(3\) điểm đối với tổng vec tơ:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v = {2 \over 3}(\overrightarrow u - \overrightarrow v )\)
\(AK\) là trung tuyến thuộc cạnh \(BC\) nên
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \)\( \Rightarrow {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = {4 \over 3}\overrightarrow u + {2 \over 3}\overrightarrow v \)\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - {4 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \)
\(BM\) là trung tuyến thuộc đỉnh \(B\) nên
\(\eqalign{
& \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \cr&\Rightarrow - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {2 \over 3}\overrightarrow u + {4 \over 3}\overrightarrow v. \cr} \)
