\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có:
\(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Tương tự ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 (1) \cr
& \cr} \)
Gọi \(G\) là trong tâm của tam giác \(MPR\), ta có:
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 (2)\)
Mặt khác :
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \)\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} \)\( + \overrightarrow {GS} (3)\)
Từ (1),(2), (3) suy ra: \(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)
