Bài 2.8 trang 104 SBT giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^{ - 3}}\)

b) \(y = {x^{ - {1 \over 2}}}\)

c) \(y = {x^{{\pi  \over 4}}}\)


Lời giải

a) - Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

- Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

\(y' =  - 3{x^{ - 4}} =  - {3 \over {{x^4}}}\)

Ta có: \(y' < 0,\forall x \in R\backslash {\rm{\{ }}0\}\) nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0,\mathop {\lim}\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty \)

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.

- Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ.

b) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\); \(y' =  - {1 \over 2}{x^{ - {3 \over 2}}}\)

Vì \(y'<0,\forall x\in D\) nên hàm số nghịch biến.

  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0\)

Đồ thị có tiệm cận đứng là trục tung, tiệm cận ngang là trục hoành.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:


c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\); \(y' = \dfrac{\pi }{4}{x^{\frac{\pi }{4} - 1}}\)

Vì \(y' > 0,\forall x \in D\) nên hàm số đòng biến trên \(D\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Đồ thị không có tiệm cận.

Bảng biến thiên:

Đồ thị: