a) Ta có:
\( u_2= \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}\)
\(u_3= \sqrt{1+ (\sqrt{10})^2} = \sqrt{11}\)
\(u_4= \sqrt{1+(\sqrt{11})^2} = \sqrt{12}\)
\(u_5= \sqrt{1+(\sqrt{12})^2} = \sqrt{13}\)
Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1=3; u_2=\sqrt{10}; u_3=\sqrt{11};\) \( u_4=\sqrt{12}; u_5=\sqrt{13}\).
b) Ta có:
\(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{1 + 8}\)
\( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{2 + 8}\)
\(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{3 + 8}\)
\(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{4 + 8}\)
...........
Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{n + 8}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\) (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
- Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng.
- Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có \(u_k = \sqrt{k + 8}\) với \(k ≥ 1\), ta cần chứng minh \(u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}\)
Theo công thức dãy số, ta có:
\(u_{k+1}= \sqrt{1+u^{2}_{k}}\) \(=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}\) \(=\sqrt{(k+1)+8}\).
Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy công thức (1) được chứng minh.
