a) Xét hiệu
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{n + 1}} - 2 - \left( {\dfrac{1}{n} - 2} \right) \) \(= \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n}\)
Vì \(n + 1 > n \Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} < \dfrac{1}{n}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{n} < 0\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\,\,\forall n \in N*\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \dfrac{n+1-1}{n+1+1}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \(=\dfrac{n}{n+2}-\dfrac{n-1}{n+1}\) \( = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right) - \left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) \(= \dfrac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}\) \(=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)
\(\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in {\mathbb N}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu có thừa số \((-1)^n\) (dãy đan dấu) là dãy số không tăng và cũng không giảm.
Vì:
+) \((-1)^n>0\) nếu \(n\) chẵn, do đó \(u_n>0\)
+) \((-1)^n<0\) nếu \(n\) lẻ, do đó \(u_n<0\)
d) Xét thương \( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\).
Ta có \( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\dfrac{2n+3}{5n+7}.\dfrac{5n+2}{2n+1}\) \(=\dfrac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
(Vì \(10{n^2} + 19n + 6 < 10{n^2} + 19n + 7\))
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.
