a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}\)
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:
\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}}\) \( = 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right)\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)
Ta chứng minh \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) bằng quy nạp.
Đặt \({S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)
+) Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 1\) đúng.
+) Giả sử \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}\), ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\).
Thật vậy,
\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2\) \( = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1\) \( = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\)
Do đó ta được \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)
Vậy \({u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) hay \({u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\)
b) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} - 5 - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{3{n^2} - n - 3{n^2} + 3n + 4n - 4}}{2}\) \( = \dfrac{{6n - 4}}{2} > 0,\forall n\).
Vậy dãy số đã cho tăng.
