Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài Tập và lời giải

Bài 3.37 trang 132 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng

a) \({n^5} - n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in N^*\);

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;

c) \({n^3} - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N^*\);

Xem lời giải

Bài 3.38 trang 132 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau với \(n \in {N^*}\)

a) \({A_n} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \) \(= \dfrac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) ;

b) \({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}  \) \(= \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}\) ;

c) \({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx  \) \(= \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.\)

Xem lời giải

Bài 3.39 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) \({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\) ;

b) \({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8.\)

Xem lời giải

Bài 3.40 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right) :\)

 \({\rm{                         }}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm{ voi n}} \ge {\rm{2}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng ;

c) Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\).

Xem lời giải

Bài 3.41 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}}{\rm{    voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.

c) Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\).

Xem lời giải

Bài 3.42 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?

Xem lời giải

Bài 3.43 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.

Xem lời giải

Bài 3.44 trang 133 SBT đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau.

Xem lời giải

Bài 3.45 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi \({S_c}\) là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và \({S_l}\) là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng :\(q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_l}}}.\)

Xem lời giải

Bài 3.46 trang 133 SBT đại số và giải tích 11
Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không ?

Xem lời giải

Bài 3.47 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tính tổng :

a) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\) ;

b) \({1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}.{n^2}.\)

Xem lời giải

Bài 3.48 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tính tổng :

a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) ;

b) \({S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}.\)

Xem lời giải

Bài 3.49 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Xem lời giải

Bài 3.50 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, hãy chọn dãy số giảm

(A)    \({u_n} = \sin n\) ;

(B)   \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 1}}{n}\) ;

(C)   \({u_n} = \sqrt n  - \sqrt {n - 1} \) ;

(D)   \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right).\)

Xem lời giải

Bài 3.51 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn :

(A)   \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \) ;

(B)   \({u_n} = n + \dfrac{1}{n}\) ;

(C)   \({u_n} = {2^n} + 1\) ;

(D)   \({u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}.\)

Xem lời giải

Bài 3.52 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\)biết \({u_1} = 3,{u_2} =  - 6.\) Hãy chọn kết quả đúng :

(A)   \({u_5} =  - 24\) ;

(B)   \({u_5} = 48\) ;

(C)   \({u_5} =  - 48\) ;

(D)   \({u_5} = 24.\)

Xem lời giải

Bài 3.53 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?

(A)   \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = u_n^3 - 1\end{array} \right.\) ;

(B)   \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\) ;

(C)   \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\end{array} \right.\) ;

(D)   \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1\end{array} \right..\)

Xem lời giải

Bài 3.54 trang 134 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho cấp số cộng  \(6,x, - 2,y.\)

Kết quả nào sau đây là đúng ?

(A)   \(x = 2,y = 5\) ;

(B)   \(x = 4,y = 6\) ;

(C)   \(x = 2,y =  - 6\) ;

(D)   \(x = 4,y =  - 6.\)

Xem lời giải

Bài 3.55 trang 135 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho cấp số nhân \( - 2,x, - 18,y.\)

Hãy chọn kết quả đúng :

(A)   \(x = 6,y =  - 54\) ;

(B)   \(x =  - 10,y =  - 26\) ;

(C)   \(x =  - 6,y =  - 54\) ;

(D)   \(x =  - 16,y = 54.\) 

Xem lời giải

Bài 3.56 trang 135 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {3^n}\). Hãy chọn hệ thức đúng:

(A)   \(\dfrac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5}\) ;

(B)   \(\dfrac{{{u_2}{u_4}}}{2} = {u_3}\) ;

(C)   \(1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{100}} = \dfrac{{{u_{100}} - 1}}{2}\) ;

(D)   \({u_1}{u_2}...{u_{100}} = {u_{5050}}.\)

Xem lời giải

Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”