Bài tập ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Đề bài

Chứng minh rằng

a) \({n^5} - n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in N^*\);

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;

c) \({n^3} - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N^*\);

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau với \(n \in {N^*}\)

a) \({A_n} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \) \(= \dfrac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) ;

b) \({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}  \) \(= \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}\) ;

c) \({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx  \) \(= \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.\)

Đề bài

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) \({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\) ;

b) \({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8.\)

Đề bài

Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right) :\)

 \({\rm{                         }}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm{ voi n}} \ge {\rm{2}}{\rm{.}}\end{array} \right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng ;

c) Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\).

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}}{\rm{    voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.

c) Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\).

Đề bài

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?

Đề bài

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.

Đề bài

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi \({S_c}\) là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và \({S_l}\) là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng :\(q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_l}}}.\)

Đề bài

Tính tổng :

a) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\) ;

b) \({1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}.{n^2}.\)

Đề bài

Tính tổng :

a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) ;

b) \({S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}.\)

Đề bài

Tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, hãy chọn dãy số giảm

(A)    \({u_n} = \sin n\) ;

(B)   \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 1}}{n}\) ;

(C)   \({u_n} = \sqrt n  - \sqrt {n - 1} \) ;

(D)   \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right).\)

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn :

(A)   \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \) ;

(B)   \({u_n} = n + \dfrac{1}{n}\) ;

(C)   \({u_n} = {2^n} + 1\) ;

(D)   \({u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}.\)

Đề bài

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\)biết \({u_1} = 3,{u_2} =  - 6.\) Hãy chọn kết quả đúng :

(A)   \({u_5} =  - 24\) ;

(B)   \({u_5} = 48\) ;

(C)   \({u_5} =  - 48\) ;

(D)   \({u_5} = 24.\)

Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?

(A)   \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = u_n^3 - 1\end{array} \right.\) ;

(B)   \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\) ;

(C)   \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\end{array} \right.\) ;

(D)   \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1\end{array} \right..\)

Đề bài

Cho cấp số cộng  \(6,x, - 2,y.\)

Kết quả nào sau đây là đúng ?

(A)   \(x = 2,y = 5\) ;

(B)   \(x = 4,y = 6\) ;

(C)   \(x = 2,y =  - 6\) ;

(D)   \(x = 4,y =  - 6.\)

Đề bài

Cho cấp số nhân \( - 2,x, - 18,y.\)

Hãy chọn kết quả đúng :

(A)   \(x = 6,y =  - 54\) ;

(B)   \(x =  - 10,y =  - 26\) ;

(C)   \(x =  - 6,y =  - 54\) ;

(D)   \(x =  - 16,y = 54.\) 

Đề bài

Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {3^n}\). Hãy chọn hệ thức đúng:

(A)   \(\dfrac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5}\) ;

(B)   \(\dfrac{{{u_2}{u_4}}}{2} = {u_3}\) ;

(C)   \(1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{100}} = \dfrac{{{u_{100}} - 1}}{2}\) ;

(D)   \({u_1}{u_2}...{u_{100}} = {u_{5050}}.\)