Vì \(0 < {u_n} < 1\) với mọi \(n\) nên \(1 - {u_{n + 1}} > 0.\) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le \dfrac{1}{4}.\)
Mặt khác, từ giả thiết
\({u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \dfrac{1}{4}\) hay \(\dfrac{1}{4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right).\)
So sánh (1) và (2) ta có: \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n}.\)
