Bài 8 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.

Lời giải

_ Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:

+ B1: Chứng minh bài toán đúng với \(n = 1\)

+ B2: Giả thuyết bài toán đúng với \(n = k\)  (gọi là giả thiết quy nạp)

+ B3. Chứng minh bài toán đúng v4ới \(n = k + 1\)

Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)

_ Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) ta có:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = {{n(n + 1)(2n + 1)} \over 6}(1)\)

Giải

_ Khi \(n = 1\) thì (1) trở thành \({1^2} = {{1(1 + 1)(2 + 1)} \over 6}\) đúng.

_ Giả sử (1) đúng khi \(n = k\), tức là:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6}\)

_ Ta chứng minh (1) đúng khi \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6}\)

_ Thật vậy :

\(\eqalign{
& {1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} + {(k + 1)^2} \cr 
& = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6} + {(k + 1)^2} \cr&= {{(k + 1)k(2k + 1) + 6(k + 1)} \over 6} \cr 
& = {{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)} \over 6} \cr&= {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6} \cr} \)

Vậy (1) đúng khi \(n = k + 1\).

Kết luận: (1) đúng với \(n\in {\mathbb N}^*\)


Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”