Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,...\) có công sai \(d > 0\)
Theo giả thiết ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 9 - d\,\,\,(1) \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Thay \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3{\left( {9 - d} \right)^2} + 6d\left( {9 - d} \right) + 5{d^2} = 275\\ \Leftrightarrow 243 - 54d + 3{d^2} + 54d - 6{d^2} + 5{d^2} = 275\\ \Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4\end{array}\)
Vì \(d > 0\) nên ta chỉ chọn \(d = 4, u_1= 5\)
Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5, 9, 13, 17, ...\)
