Theo giả thiết ta có:
Cấp số nhân: \(u_1, u_2, u_3,...\)
Cấp số cộng: \(u_1 + 10, u_2 + 8, u_3,...\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_3} - {u_2} = 12 \hfill \cr
{u_2} + 8 = {{({u_1} + 10) + {u_3}} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}{q^2} - {u_1}q = 12 \hfill \cr
2({u_1}q + 8) = {u_1} + 10 + {u_1}{q^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}({q^2} - q) = 12 \hfill \cr
{u_1}({q^2} - 2q + 1) = 6 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}({q^2} - q) = 12\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{u_1}{(q - 1)^2} = 6\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.({u_1} \ne 0,q \ne 0,q \ne 1) \cr} \)
Lấy (1) chia cho 2 vế theo vế, ta được:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{q^2} - q}}{{{{\left( {q - 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{q\left( {q - 1} \right)}}{{{{\left( {q - 1} \right)}^2}}} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{q}{{q - 1}} = 2 \Leftrightarrow q = 2q - 2 \Leftrightarrow q = 2\end{array}\)
Với \(q = 2\), thay vào (1) ta có: \(u_1(4 – 2) = 12 ⇔ u_1= 6\)
Lúc đó: \({S_5} = {u_1}{{1 - {q^5}} \over {1 - q}} = 6.{{1 - {2^5}} \over {1 - 2}} = 186\).
