Câu 18 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Bài 18. Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right)\)

Hướng dẫn : Nhân và chia biểu thức đã cho với  \(\sqrt {{n^2} + n + 1} + n\)

b.  \(\lim {1 \over {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}\)

Hướng dẫn : Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với  \(\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \)

c.  \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right)\)

d.  \(\lim {1 \over {\sqrt {3n + 2} - \sqrt {2n + 1} }}\)

e.  \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)n\)

f.  \(\lim {{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {n + 1} } \over {3n + 2}}\)

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) = \lim {{\left( {{n^2} + n + 1} \right) - {n^2}} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} \cr
& = \lim {{n + 1} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} = \lim {{n\left( {1 + {1 \over n}} \right)} \over {n\left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} + 1} \right)}} \cr
& = \lim {{1 + {1 \over n}} \over {\sqrt {1 + {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& \lim {1 \over {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }} = \lim {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {n + 2 - n - 1}} \cr
& = \lim \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right) = + \infty \cr} \)

c.

\(\eqalign{
& \lim \sqrt {{n^2} + n + 2} - \sqrt {n + 1} = \lim\,n \left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right) = + \infty \cr
& \text{ vì}\;\lim n = + \infty \text{ và}\;\lim \left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right) = 1 > 0 \cr} \)

d.

\(\eqalign{
& \lim {1 \over {\sqrt {3n + 2} - \sqrt {2n + 1} }} = \lim {{\sqrt {3n + 2} + \sqrt {2n + 1} } \over {3n + 2 - 2n - 1}} \cr
& = \lim {{\sqrt {3n + 2} + \sqrt {2n + 1} } \over {n + 1}} = \lim {{n\left( {\sqrt {{3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} + \sqrt {{2 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt {{3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} + \sqrt {{2 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \over {1 + {1 \over n}}} = 0 \cr} \)

e.

\(\eqalign{
& \lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right).n \cr
& = \lim \sqrt n .{{\sqrt n } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \lim \sqrt n .{1 \over {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1}} = + \infty \cr
& \text{ vì}\;\lim \sqrt n = + \infty \;\text{và}\;\lim {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1}} = {1 \over 2} > 0 \cr} \)

f.

\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {n + 1} } \over {3n + 2}} = \lim {{n\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right)} \over {n\left( {3 + {2 \over n}} \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \over {3 + {2 \over n}}} = {1 \over 3}. \cr} \)