Bài 3. Dãy số có giới hạn vô cực

Bài 11. Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với

a.  \({u_n} = - 2{n^3} + 3n + 5\)

b.  \({u_n} = \sqrt {3{n^4} + 5{n^3} - 7n} \)

Bài 12. Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với

a.  \({u_n} = {{ - 2{n^3} + 3n - 2} \over {3n - 2}}\)

b.  \({u_n} = {{\root 3 \of {{n^6} - 7{n^3} - 5n + 8} } \over {n + 12}}\)

Bài 13. Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\lim \left( {2n + \cos n} \right)\)

b.  \(\lim \left( {{1 \over 2}{n^2} - 3\sin 2n + 5} \right)\)

Bài 14. Chứng minh rằng nếu \(q > 1\) thì  \(\lim {q^n} = + \infty .\)

Bài 16. Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\lim {{{n^2} + 4n - 5} \over {3{n^3} + {n^2} + 7}}\)

b.  \(\lim {{{n^5} + {n^4} - 3n - 2} \over {4{n^3} + 6{n^2} + 9}}\)

c.  \(\lim {{\sqrt {2{n^4} + 3n - 2} } \over {2{n^2} - n + 3}}\)

d.  \(\lim {{{3^n} - {{2.5}^n}} \over {7 + {{3.5}^n}}}\)

Bài 17. Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\lim \left( {3{n^3} - 7n + 11} \right)\)

b.  \(\lim \sqrt {2{n^4} - {n^2} + n + 2} \)

c.  \(\lim \root 3 \of {1 + 2n - {n^3}} \)

d.  \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} .\)

Bài 18. Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right)\)

Hướng dẫn : Nhân và chia biểu thức đã cho với  \(\sqrt {{n^2} + n + 1} + n\)

b.  \(\lim {1 \over {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}\)

Hướng dẫn : Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với  \(\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \)

c.  \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right)\)

d.  \(\lim {1 \over {\sqrt {3n + 2} - \sqrt {2n + 1} }}\)

e.  \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)n\)

f.  \(\lim {{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {n + 1} } \over {3n + 2}}\)

Bông tuyết Vôn Kốc

Ta bắt đầu từ một tam giác đều cạnh a. Chia mỗi cạnh của tam giác ABC thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài tam giác ABC rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H₁. Chia mỗi cạnh H₁ thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Trên mỗi đoạn thẳng ở giữa, dựng một tam giác đều nằm ngoài H₁ rồi xóa đáy của nó, ta được đường gấp khúc khép kín H₂. Tiếp tục như vậy, ta được một hình giống như bông tuyết, gọi là bông tuyết Vôn Kốc (h. 4.6).

a. Gọi p₁, phương pháp, …, p_n, … là độ dài của H₁, H₂, …, H_n, … . Chứng minh rằng (p_n) là một cấp số nhân. Tìm limp_n.

b. Gọi S_n là diện tích của miền giới hạn bởi đường gấp khúc H_n. Tính S_n và tìm giới hạn của dãy số (S_n).

Hướng dẫn : Số cạnh của H_n là 3.4ⁿ. Tìm độ dài mỗi cạnh của H_n, từ đó tính p_n. Để tính S_n cần chú ý rằng muốn có H_n+1 chỉ cần thêm vào một tam giác đều nhỏ trên mỗi cạnh của H_n.