Câu hỏi và bài tập ôn tập chương IV

Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với

a.  \({u_n} = {{2{n^3} - n - 3} \over {5n - 1}}\)

b.  \({u_n} = {{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} } \over { - 2{n^2} + 3}}\)

c.  \({u_n} = - 2{n^2} + 3n - 7\)

d.  \({u_n} = \root 3 \of {{n^9} + 8{n^2} - 7} \)

Tìm các giới hạn của các dãy số (u­­_n) với :

a.  \({u_n} = \sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} \)

b.  \({u_n} = {{{4^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {{3.5}^n}}}\)

Cho một cấp số nhân (u_n), trong đó

\(243{u_8} = 32{u_3}\,\text{ với }\,{u_3} \ne 0.\)

a. Tính công bội của cấp số nhân đã cho.

b. Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng \({3^5},\) tính u₁.

Tìm giới hạn của dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}}.\)

Hướng dẫn : Với mỗi số nguyên dương k, ta có

\({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\)

Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \)

b.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}}\)

c.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}}\)

d.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} \)

e.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\)

f.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)

Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} + 8} \over {4x + 8}}\,\text{ với }\,x \ne - 2} \cr {3\,\text{ với }\,x = - 2} \cr} } \right.\)

Có liên tục trên \(\mathbb R\) không ?

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\,\text{ với }\,x < 2} \cr {mx + m + 1\,\text{ với }\,x \ge 2} \cr} } \right.\)

Liên tục tại điểm \(x = 2\)

Chứng minh rằng phương trình

\({x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1 ; 2).