Câu hỏi 2 trang 94 SGK Hình học 11

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a) Hãy phân tích các vecto \(\overrightarrow {AC'} ;\,\overrightarrow {BD} \)  theo ba vecto \(\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AD} ;\,\overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}}\)

b) Tính cos (\(\overrightarrow {AC'} ;\,\overrightarrow {BD} \)) và từ đó suy ra \(\overrightarrow {AC'} ;\,\overrightarrow {BD} \)  vuông góc với nhau

\(\eqalign{
& a)\, \cr
& \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}}\,{\rm{ = }}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA}}} {\rm{'}} \cr
& \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \cr
& b) \cr
& \cos (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} ) = {{\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC'} |.|\overrightarrow {BD} |}} \cr
& \overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} ).(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) \cr
& = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} ).\overrightarrow {AD} - (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} ).\overrightarrow {AB} \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{\rm{AA'}}} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {{\rm{AA'}}} .\overrightarrow {AB} \cr} \)

Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên AB, AD, AA’ đôi một vuông góc với nhau

\(\eqalign{
& (1) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {A{D^2}} + \overrightarrow 0 - \overrightarrow {A{B^2}} - \overrightarrow 0 - \overrightarrow 0 = 0\,\,(AB = AD) \cr
& \Rightarrow \cos (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} ) = {{\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD} } \over {|\overrightarrow {AC'} |.|\overrightarrow {BD} |}} = {{\overrightarrow 0 } \over {\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} }} = 0 \cr
& \Rightarrow (\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^0} \cr} \)

Vậy hai vecto trên vuông góc với nhau.