Bài 1: a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow ∆’ > 0 \Leftrightarrow 2 – 2m > 0 \Leftrightarrow m < 1.\)
b) Theo định lí Vi-ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m - 2;\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\)
\( \Rightarrow \left( {2{x_1} + 1} \right)\left( {2{x_2} + 1} \right)\)\(\; = 4{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1\)
\(=4\left( {{m^2} - 1} \right) + 2\left( {2m - 2} \right) + 1 \)\(\;= 4{m^2} + 4m - 7.\)
Bài 2: a) Đặt \(t = {x^2};t \ge 0\). Ta có phương trình:
\(2{t^2} + 5t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{\rm{t}} = - 1\left( {{\text{loại}}} \right)} \cr {{\rm{t}} = - {3 \over 2}\left( \text{loại} \right)} \cr } } \right.\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt \(t = \sqrt x ;t \ge 0 \Rightarrow {t^2} = x.\) Ta có phương trình:
\(\eqalign{ & 7t - 2{t^2} + 15 = 0 \cr&\Leftrightarrow 2{t^2} - 7t - 15 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{\rm{t}} = 5\left( {{\text{nhận}}} \right)} \cr {{\rm{t}} = - {3 \over 2}\left( {{\text{loại}}} \right)} \cr } } \right. \cr} \)
Vậy \(x = 25.\)
Bài 3: Phương trình hoành độ giao điểm ( nếu có ) của (P) và (d) :
\( - {1 \over 4}{x^2} = {1 \over 2}x - 2 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = - 4 \hfill \cr} \right.\)
Với \(x = 2 \Rightarrow y = − 1\)
Với \(x = − 4 \Rightarrow y = − 4\)
Vậy tọa độ hai giao điểm là \((2; − 1)\) và \((- 4; - 4).\)
Bài 4: Gọi \(x\) là thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể ( \(x > 0,\; x\) tính bằng giờ) thì thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là \(x + 4.\)
Một giờ vòi thứ nhất chảy được \({1 \over x}\) ( bể), vòi thứ hai chảy được \({1 \over {x + 4}}\) ( bể).
Ta có : 5 giờ 50 phút = \({{35} \over 6}\)( giờ).
Khi đó cả hai vòi chảy 1 giờ được \({6 \over {35}}\)( bể).
Ta có phương trình:
\({1 \over x} + {1 \over {x + 4}} = {6 \over {35}} \)
\(\Rightarrow 3{x^2} - 23x - 70 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{\rm{x}} = 10\left( {{\text{nhận}}} \right)} \cr {{\rm{x}} = - {7 \over 3}\left( {{\text{loại}}} \right)} \cr } } \right.\)
Vậy vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể trong 14 giờ.
