Bài 6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Hãy tính \(x_1+x_2;x_1.x_2\)

\(\displaystyle{x_1} = {{ - b + \sqrt \Delta  } \over {2a}};\,{x_2} = {{ - b - \sqrt \Delta  } \over {2a}}\)

Cho phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0.\)

a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a + b + c.\)

b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)

Cho phương trình \(3x^2 +7x + 4 = 0.\)

a) Xác định các hệ số \(a, b, c\) rồi tính \(a - b + c.\)

b) Chứng tỏ rằng \( x_1 = -1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2.\)

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng \(1\) và tích của chúng bằng \(5.\)

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \(-5x^2+3x+2=0\)

b) \(2004x^2+2005x+1=0\)

 Đối với phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..):

a) \(2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\({\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \);

b) \(5{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}35{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\({\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \);

c) \(8{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Delta  = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \);

d) \(25{x^2} + {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\({\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \).

Dùng điều kiện \(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :

a) \(35{x^2}-{\rm{ }}37x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

b) \({\rm{ }}7{x^2} + {\rm{ }}500x{\rm{ }} - {\rm{ }}507{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) \({x^2} - {\rm{ }}49x{\rm{ }} - {\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

d) \(4321{x^2} + {\rm{ }}21x{\rm{ }} - {\rm{ }}4300{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

 Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) \({x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);            

b) \({x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

 Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u + v = 32, uv = 231\);            

b) \(u + v = -8, uv = -105\);

c) \(u + v = 2, uv = 9\)

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) \(4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);                     

b) \(9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

c) \(5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);                      

d) \(159{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);                       

b) \({x^2}+{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\) 

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);          

b) \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) \(\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) với \(m ≠ 1\). 

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\);                        

b) \(u + v = -42\), \(uv = -400\);

c) \(u – v = 5\), \(uv = 24\).

Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức  \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau:

\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).

Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)\(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)

b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Bài 1: Tìm m để phương trình có nghiệm và tính tổng và tích các nghiệm theo m : \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0.\)

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - x - 10 = 0.\) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1; x_2\) và tính \(x_1^2 + x_2^2.\)

Bài 3: Tìm m để phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) có hai nghiệm khác dấu.

Bài 1: Không giải phương trình, chứng tỏ phương trình \(2{x^2} - 3x - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1; x_2\). Tính \(x_1^3 + x_2^3.\)

Bài 2: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt và cùng dương.

Bài 3: Tìm m để phương trình \({x^2} + 2x + m = 0\) có hai nghiệm \(x_1; x_2\) thỏa mãn \(3{x_1} + 2{x_2} = 1.\)

Bài 1: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) có hai nghiệm cùng dương.

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - 4x + m = 0.\) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) và \({x_1}-{\rm{ }}{x_2} = 4.\)

Bài 3: Tìm hai số a và b biết \(a + b = − 1\) và \(ab = − 6.\)

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(- 1\) và \(2.\)

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm khác dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Bài 1: Cho phương trình \({x^2} + x - 3 = 0\)có hai nghiệm là \(x_1;x_2\). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\).

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0.\)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2,\) ở đó \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình.

Bài 1: Cho phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2}.\)

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0.\) Tìm m để \(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 7,\) ở đó \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình.

Bài 1: Cho phương trình \({x^2} - 2x + m + 2 = 0.\) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_1;x_2\) và \(x_1^2 + x_2^2 = 10.\)

Bài 2: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm khác dấu.

Bài 3: Tìm m để hai phương trình sau tương đương :

\({x^2} + mx - 2 = 0\) và \({x^2} - 2x + m = 0\).