- Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác
\(AI\) là đường trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow \) \(AB = AC\) (Tính chất đường trung trực đoạn thẳng)
\( \Rightarrow ΔABC\) cân tại \(A\).
- Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.
Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung trực vừa là đường cao.
\(AI\) là đường trung trực của \(BC\) \( \Rightarrow \) \(AB = AC\) (Tính chất đường trung trực đoạn thẳng)
\( \Rightarrow ΔABC\) cân tại \(A\).
- Bài tập 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.
Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường phân giác vừa là đường cao
\(AI\) là đường cao \( \Rightarrow AI ⊥ BC\)
Xét hai tam giác vuông \(ΔABI\) và \(ΔACI\) có:
+) \(AI\) chung
+) \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (do \(AI\) là phân giác góc \(BAC\))
\( \Rightarrow ΔABI = ΔACI\) (góc nhọn – cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow AB = AC \)(hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow ΔABC\) cân tại \(A\).
- Bài tập 4: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân.
Xét \(ΔABC\) có \(AI\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
\(AI\) là đường cao suy ra \(AI ⊥ BC\).
\(AI\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow \) \(I\) là trung điểm \(BC\).
Do đó \(AI\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AB = AC\) (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
\( \Rightarrow ΔABC\) cân tại \(A\).
