Đặt \(x=\sqrt a, y = \sqrt b\) (với \(x>0\) và \(y>0\)) ta được:
\({a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y}; \, \, {b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}\)
Suy ra: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} \)\(= {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\) (1)
Mà \(x^2+y^2≥ 2xy\) (Bất đẳng thức Cô-si)
Nên \(x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔\) \({{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\)
Do đó (1) \({{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\)
\(⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \,(đpcm).\)
