\( a) f(x) = {x^4} - {x^2} + 6x - 9 \)\(= {\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2}\)\( = \left( {{x^2} + x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right)\)
\({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R\) ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0\))
Suy ra \(f(x)>0\) với \(x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\) hoặc \(x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2}\)
\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2} < x < \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}.\)
\(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}\)
\(={{{{({x^2} - 2x)}^2} - {2^2}} \over {{x^2} - 2x}} = {{({x^2} - 2x + 2)({x^2} - 2x - 2)} \over {{x^2} - 2x}}\)
Bởi vì \(x^2– 2x + 2 > 0 ,∀x ∈\mathbb R\) nên dấu của \(g(x)\) là dấu của \({{{x^2} - 2x - 2} \over {{x^2} - 2x}}\)
Lập bảng xét dấu:
Vậy \(g\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\)\( \cup \left( {2;\;1 + \sqrt 3 } \right)\) và \(g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } \right)\)\( \cup \left( {0;\;2} \right) \cup \left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right).\)
\(\eqalign{b) & x({x^3} - x + 6) > 9 \cr&\Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 6x - 9 > 0 \cr & \Leftrightarrow {x^4} - {(x - 3)^2} > 0 \cr&\Leftrightarrow ({x^2} - x + 3)({x^2} + x - 3) > 0 (1) \cr} \)
Vì \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R\) ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0\))
Do đó (1) \(\Leftrightarrow ({x^2} + x - 3) > 0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr
x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là \(\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}.\)
