a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)}^2}}} = 1\) suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang.
b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = - \infty \) nên \(x = 2\) là một tiệm cận đứng.
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = - \infty \) nên \(x = - 2\) là tiệm cận đứng thứ hai.
Ta lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{3}{x}}}{{1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}}} = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang.
c) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = + \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = + \infty \) nên \(x = 3\) cũng là tiệm cận đứng
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.
d) TXĐ: \(\mathbb{R}\).
Ta có:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3 + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{\dfrac{2}{x} + \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}\)\( = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{3 - \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{\dfrac{2}{x} - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}\)\( = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang: \(y = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\) và \(y = - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
e) TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ;4) \cup (4; + \infty )\)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5 - \dfrac{1}{x} - \sqrt {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{5 - \dfrac{1}{x} + \sqrt {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 6\)
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang \(y = 4\) và \(y = 6\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}} = - \infty \) nên đường thẳng \(x = 4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
