Cho đường thẳng \(d\), điểm \(A\) nằm trên đường thẳng \(d\), điểm \(B\) nằm ngoài đường thẳng \(d\). Hãy dựng đường tròn \((O)\) đi qua điểm \(B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) tại \(A\).
Tâm \(O\) thỏa mãn hai điều kện:
- \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (vì đường tròn đi qua \(A\) và \(B\)).
- \(O\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(d\) tại \(A\) (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\) tại \(A\)).
Vậy \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng nói trên.
Cách dựng:
- Dựng đường trung trực \(m\) của \(AB\).
- Từ \(A\) dựng một đường thẳng vuông góc với \(d\) cắt đường thẳng \(m\) tại \(O\).
- Dựng đường tròn \((O;\ OA)\0. Đó là đường tròn phải dựng.
Chứng minh:
Vì \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(OA=OB\), do đó đường tròn \((O;OA)\) đi qua \(A\) và \(B\).
Đường thẳng \(d\perp OA\) tại \(A\) nên đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \((O)\) tại \(A\).
Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình.
