a) Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr - 2{\rm{x}} - 5y = - 5 \hfill \cr} \right.\)
Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ trên, ta được: \(2x + 5y +(-2x-5y)= 2-5 \)
\( \Leftrightarrow 0 = - 3\) (vô lý)
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Minh họa hình học kết quả tìm được:
- Vẽ đồ thị hàm số \(2x + 5y = 2\).
Cho \(y = 0 ⇒ x = 1\). Ta xác định được điểm \(A(1; 0)\)
Cho \(y = 1 ⇒ x = -1,5\). Ta xác định được điểm \(B(-1,5; 1)\).
Đồ thị hàm số \(2x + 5y = 2\) là đường thẳng đi qua hai điểm A và B
-Vẽ đồ thị hàm số \({\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 5y = 5\)
Cho \(x = 0 ⇒ y = 1\). Ta xác định được điểm \(C(0; 1)\)
Cho \(y = 2 ⇒ x = -2,5\). Ta xác định được điểm \(D(-2,5; 2)\)
Đồ thị hàm số \({\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.
Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.
b) Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ 0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2{\rm{x}} - y = - 3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \, (2) \hfill \cr} \right.\)
Cộng vế với vế của hai phương trình trên, ta được \(-2x-y+3x+y=-3+5\) \( \Leftrightarrow x = 2\)
Thế \(x = 2\) vào phương trình (2), ta được: \(6 + y = 5 ⇔ y = -1\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x;y)=(2;-1)\)
Minh họa hình học:
- Đồ thị hàm số \(0,2x + 0,1y = 0,3\) là một đường thẳng đi qua hai điểm:
\(A( 0; 3)\) và \(B(1,5; 0)\)
- Đồ thị hàm số \(3x + y = 5\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \(C( 0; 5)\) và \(D( 1; 2)\)
- Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: \(M( 2; -1)\).
Vậy \((2; -1)\) là một nghiệm của hệ phương trình.
c) Giải hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ {\displaystyle{3 \over 2}}x - y = {\displaystyle{1 \over 2}} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{\rm{x}} + 2y = - 1 \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\ - 3x + 2y + 3x - 2y = - 1 + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 3x - 1\\0 = 0\left( {luôn \, đúng} \right)\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát là \(\left( {x;{\displaystyle{3 \over 2}}x - {\displaystyle{1 \over 2}}} \right)\) với \(x ∈ R\)
Minh họa hình học
- Đồ thị hàm số \(\dfrac{3}{2}x - y = \dfrac{1}{2}\) và đồ thị hàm số \(3x - 2y = 1\) cùng là một đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0; - {\displaystyle{1 \over 2}})\) và \(B(1;1)\) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trinh có vô số nghiệm.
