Bài 1: a) Ta có : \(\left\{ \matrix{ \sqrt 2 x - \sqrt 3 y = - 1 \hfill \cr \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \sqrt 2 y = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x - \sqrt 6 y = - \sqrt 2 \hfill \cr \left( {3 + \sqrt 3 } \right)x - \sqrt 6 y = \sqrt 6 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x = \sqrt 6 + \sqrt 2 \hfill \cr \sqrt 2 x - \sqrt 3 y = - 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \sqrt 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất : \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right).\)
b)Ta có : \(\left\{ \matrix{ 4x - 3y = - 10 \hfill \cr 2x + 5y = 8 \hfill \cr} \right.\)\(\; \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x - 3y = - 10 \hfill \cr 4x + 10y = 16 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 13y = 26 \hfill \cr 4x - 3y = - 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất: \((− 1; 2).\)
Bài 2: Ta có : \(\left\{ \matrix{ 2x - 3 = 0 \hfill \cr ax + \left( {a - 1} \right)y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} \hfill \cr ax + \left( {a - 1} \right)y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} \hfill \cr \left( {a - 1} \right)y = {3 \over 2} - {3 \over 2}a\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1.\)
Bài 3: 7 giờ 12 phút = \({{36} \over 5}\) giờ.
Gọi \(x, y\) là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc ( \(x > 0, y > 0; x, y\) tính theo giờ).
Một giờ người thứ nhất làm được \({1 \over x}\) công việc, một giờ người thứ hai làm được \({1 \over y}\) công việc.
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ {1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {36}} \hfill \cr {6 \over x} + {3 \over y} = {2 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Đặt \(u = {1 \over x};v = {1 \over y}\left( {u > 0,v > 0} \right)\). Ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \matrix{ u + v = {5 \over {36}} \hfill \cr 6u + 3v = {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3u + 3v = {{15} \over {36}} \hfill \cr 6u + 3v = {2 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3u = {1 \over 4} \hfill \cr u + v = {5 \over {36}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ u = {1 \over {12}} \hfill \cr v = {1 \over {18}}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(x = 12; v = 18.\)
Vậy người thứ nhất làm một mình trong \(12\) giờ; người thứ hai làm một mình trong \(18\) giờ.
