Bài 1: Ta có : \(\left\{ \matrix{ kx + y = 1 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ kx + y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr y = x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Thế y từ (2) vào (1), ta được : \(kx + x = 0 \Leftrightarrow (k+1)x = 0\; (*)\)
Hệ có nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \) phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
\( \Leftrightarrow k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = − 1.\)
Bài 2: a)
\(\left\{ \matrix{ 2x + 5y = - 13 \hfill \cr - 5x + 6y = - 23 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 10x + 25y = - 65 \hfill \cr - 10x + 12y = - 46 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 37y = - 111 \hfill \cr 2x + 5y = - 13 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = - 3 \hfill \cr 2x + 5y = - 13 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = - 3. \hfill \cr} \right.\)
b) Ta có :
\(\left\{ \matrix{ x + 2y = 4 \hfill \cr y - 3x = 7 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2y + 4 \hfill \cr y = - 3\left( { - 2y + 4} \right) = 7 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{19} \over 7} \hfill \cr x = - 2y + 4 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {{10} \over 7} \hfill \cr y = {{19} \over 7}. \hfill \cr} \right.\)
Bài 3: Ta xét hệ : \(\left\{ \matrix{ 3x + my = 3\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr mx + 3y = 3\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Từ (1) \( \Rightarrow x = {{3 - my} \over 3}.\) Thế x vào (2), ta được :
\(m.{{3 - my} \over 3} + 3y = 3 \)
\(\Leftrightarrow \left( {9 - {m^2}} \right)y = 9 - 3m\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Hệ vô nghiệm \( \Rightarrow \) Phương trình (*) vô nghiệm
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 9 - {m^2} = 0 \hfill \cr 9 - 3m \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = - 3.\)
Vậy hai đường thẳng song song \( \Rightarrow \) m = -3.
Bài 4: Gọi \(x, y\) là thời gian để người thứ nhất và thứ hai làm một mình xong công việc ( \(x, y > 0\)).
Mỗi giờ người thứ nhất làm được \({1 \over x}\) công việc, người thứ hai làm được \({1 \over y}\) công việc. Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \matrix{ 15.{1 \over x} + 15.{1 \over y} = {1 \over 6} \hfill \cr 12.{1 \over x} + 20.{1 \over y} = {1 \over 5} \hfill \cr} \right.\)
Đặt \(u = {1 \over x};v = {1 \over y}\left( {u > 0,v > 0} \right)\). Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ 15u + 15v = {1 \over 6} \hfill \cr 12u + 20v = {1 \over 5} \hfill \cr} \right. \)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 60u + 60v = {2 \over 3} \hfill \cr 60u + 100v = 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 40v = {1 \over 3} \hfill \cr 12u + 20v = {1 \over 5} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ v = {1 \over {120}} \hfill \cr u = {1 \over {360}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \( x = 360; y = 120.\)
Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong \(360\) giờ; người thứ hai làm xong công việc trong \(120\) giờ.
