Bài 1: a)
\(\left\{ \matrix{ 2x + 3y = 4 \hfill \cr x + 2y = 5 \hfill \cr} \right. \)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2\left( {5 - 2y} \right) + 3y = 4 \hfill \cr x = 5 - 2y \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 6 \hfill \cr x = 5 - 2y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 7 \hfill \cr y = 6 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất : \(( − 7; 6).\)
b)\(\left\{ \matrix{ 2x - y = - 4 \hfill \cr 6x + y = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 8x = 3 \hfill \cr 2x - y = - 4 \hfill \cr} \right.\)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 8} \hfill \cr y = {{19} \over 4}. \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất : \(\left( {{3 \over 8};{{19} \over 4}} \right).\)
Bài 2: Ta có : \(x + ay = 1 \Leftrightarrow x = 1 – ay.\)
Thế x vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(a\left( {1 - ay} \right) + y = a\)
\(\Leftrightarrow \left( {1 - {a^2}} \right)y = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Phương trình (*) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow 1 - {a^2} \ne 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right) \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \pm 1\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(a \ne \pm 1.\)
Bài 3: Ta thấy mỗi hệ đã cho đều vô nghiệm vì trong mỗi hệ biểu thị cho hai đường thẳng song song, vậy hai hệ tương đương với nhau.
Bài 4: Gọi \(x, y\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ( \(x > 0; y > 0; x, y \) tính bằng m). Chu vi là \(140m\), nên ta có phương trình :
\(2\left( {x + y} \right) = 140 \Leftrightarrow x + y = 70\)
Ba lần chiều rộng lớn hơn chiều dài 10m, nên ta có phương trình :
\(3y – x = 10\)
Vậy, ta có hệ :
\(\left\{ \matrix{ x + y = 70 \hfill \cr 3y - x = 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4y = 80 \hfill \cr x + y = 70 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 20 \hfill \cr x = 70 - y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 50 \hfill \cr y = 20 \hfill \cr} \right.\)
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(50\;m\) và \(20\;m\).
