Bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 12, 13 SBT toán 9 tập 2

Bài 4.1

Giải các hệ phương trình:

\(a)\left\{ {\matrix{ \displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)

\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 
\displaystyle {{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)

Phương pháp:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

(a)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle {{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)

Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\).

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b \ \) \((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = - \displaystyle{3 \over 2}} \cr 
{5a - 2b = \displaystyle{8 \over 3}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a + 10b = - 3} \cr 
{15a - 6b = 8} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{30a + 50b = - 15} \cr 
{30a - 12b = 16} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{62b = - 31} \cr 
{6a + 10b = - 3} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{6a + 10.\displaystyle\left( { - {1 \over 2}} \right) = - 3} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = -\displaystyle {1 \over 2}} \cr 
{6a = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{a = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Suy ra:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = - {1 \over 2}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (3; -2)\).

\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 
\displaystyle{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)

Điều kiện: \(x + y - 1 \ne 0;x - y + 1 \ne 0\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over {x + y - 1}} = a;{1 \over {x - y + 1}} = b\) 

\((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = - \displaystyle{{14} \over 5}} \cr 
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = -\displaystyle {{14} \over 5}} \cr 
{6a + 4b = - \displaystyle{{26} \over 5}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8a = - 8} \cr 
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr 
{  3.(-1) + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr 
{b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)}  \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {x + y - 1}} = - 1} \cr 
\displaystyle{{1 \over {x - y + 1}} = {1 \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y - 1 = - 1} \cr 
{x - y + 1 = 5} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 0} \cr 
{x - y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 4} \cr 
{x - y = 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{2 - y = 4} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (2; -2).\)

Bài 4.2

Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

\(a)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M(-3; 1)\) và \(N(1; 2)\)

\(b)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2  - 1} \right)\)

\(c)\) Đồ thị đi qua điểm \(M(-2; 9)\) và cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2.\)

Phương pháp:

Sử dụng:

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức \(y = ax + b,\) trong đó \(a, b\) là những số cho trước và \(a  \ne 0.\)

- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\) \( (a \ne 0).\)

\(a)\) Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(-3; 1)\)  nên ta có \(1 = -3a + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N(1; 2)\) nên ta có \(2 = a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 3a + b = 1} \cr 
{a + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4a = 1} \cr 
{a + b = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over 4}} \cr 
{\displaystyle{1 \over 4} + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a =\displaystyle {1 \over 4}} \cr 
{b =\displaystyle {7 \over 4}} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=\displaystyle {1 \over 4}\) thoả mãn điều kiện \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = \displaystyle{1 \over 4}x + {7 \over 4}.\)

\(b)\) Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) nên ta có \(1 = a\sqrt 2  + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N\left( {3;3\sqrt 2  - 1} \right)\) nên ta có \(3\sqrt 2  - 1 = 3a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr 
{3a + b = 3\sqrt 2 - 1} \cr
} } \right.  \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = 3\sqrt 2 - 2} \cr 
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = \sqrt 2 \left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \cr 
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{2 + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=\sqrt 2\) thoả mãn điều kiện  \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = \sqrt 2 x - 1\)

\(c)\) Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm \(N\) có hoành độ bằng \(2\) nên \(N(2;y)\).

Điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) nên ta có \(3.2 - 5y = 1 \Leftrightarrow  - 5y =  - 5 \Leftrightarrow y = 1\)

Suy ra \(N( 2; 1.)\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(-2; 9)\)  nên ta có \(9 = -2a + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N(2; 1)\) nên ta có \(1 =2a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 2a + b = 9} \cr 
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2b = 10} \cr 
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{2a + 5 = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{2a = - 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{a = - 2} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=- 2\) thoả mãn điều kiện  \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y =  - 2x + 5.\)

Bài 4.3

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr 
\displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\)

Phương pháp:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt 

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Điều kiện: \(x \ne  - y;y \ne  - z;z \ne  - x\)

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: \(x \ne 0;y \ne 0;z \ne 0\)

Do đó

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr 
\displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr
} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{x + y} \over {xy}} = {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{{y + z} \over {yz}} = {5 \over 6}} \cr 
\displaystyle{{{z + x} \over {zx}} = {4 \over 3}} \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 6}} \cr 
\displaystyle{{1 \over z} + {1 \over x} = {4 \over 3}} \cr} } \right.\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b;{1 \over z} = c\) \((a,b,c \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình trên trở thành:

\(\left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{3 \over 2}} \cr 
{b + c = \displaystyle{5 \over 6}} \cr 
{c + a =\displaystyle {4 \over 3}} \cr} } \right.\)

Cộng từng vế của ba phương trình trong hệ ta được:

\(\eqalign{
& a + b + b + c + c + a = {3 \over 2} + {5 \over 6} + {4 \over 3} \cr 
& \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) = {9 \over 6} + {5 \over 6} + {8 \over 6} \cr 
& \Leftrightarrow a + b + c = {{11} \over 6} \cr 
& \Rightarrow a = \left( {a + b + c} \right) - \left( {b + c} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {5 \over 6} = 1 \cr 
& b = \left( {a + b + c} \right) - \left( {c + a} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {4 \over 3} = {{11} \over 6} - {8 \over 6} = {1 \over 2} \cr 
& c = \left( {a + b + c} \right) - \left( {a + b} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {3 \over 2} = {{11} \over 6} - {9 \over 6} = {1 \over 3} \cr} \)

Ta thấy \(a=1;b=\displaystyle {1 \over 2};c={1 \over 3}\) thoả mãn điều kiện \(a,b,c \ne 0\).

Do đó

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = 1} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{1 \over z} = {1 \over 3}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr 
{y = 2} \cr 
{z = 3} \cr} } \right. \text{(thoả mãn)}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y; z) = (1; 2; 3).\)