a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)\(y' = {x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x=2\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).
b) TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y' = - 4{x^2} + 12x - 9 = - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)\)
\(= - {\left( {2x - 3} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = {3 \over 2}\). Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 5 \right\}\)
\(y' = {{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 5\)
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\). TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\)
\(y' = {{2 - 2x} \over {2\sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {y = 1} \right)\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
e) TXĐ: \(D = \mathbb R\) (vì \({x^2} - 2x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb R\))
\(y' = {{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\);
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\)
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
f) TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
\(y' = - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne - 1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) .
