a) Hàm số \(f\left( x \right) = x - \sin x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 1 - \cos x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)\), từ đó với mọi \(x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\) ta có:
\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow x - \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)\). Với \(x \ge {\pi \over 2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\).
Vậy \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0\)
* Với mọi \(x<0\), áp dụng chứng minh trên ta có:
\(\sin \left( { - x} \right) < - x \Rightarrow - \sin x < - x \Rightarrow \sin x > x\)
Vậy \(\sin x > x\) với mọi \(x<0\).
b) Hàm số \(g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 - 1}}\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(g'\left( x \right) = x - \sin x\)
Theo câu a) \(g'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x>0\) nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có
\(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x>0\), tức là \(\cos x + {{{x^2}} \over 2} - 1 > 0\) với mọi \(x>0\)
hay \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x>0\) (1)
Với mọi x0 nên theo (1) ta có:
\(\cos \left( { - x} \right) > 1 - {{{{\left( { - x} \right)}^2}} \over 2}\, \Leftrightarrow \cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\).
c) Hàm số \(h\left( x \right) = \sin x - x + {{{x^3}} \over 6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) (câu b)
Do đó \(h\) đồng biến trên \(\mathbb R\) nên ta có:
\(h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0\) và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)
Từ đó suy ra: \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x>0\)
\(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\)với mọi \(x<0\)
