Gọi các phân số cần tìm là \(x,\;y,\;z\;\;\left( {x,\;y,\;z \in Q} \right).\)
Tổng của ba phân số bằng \(1\) nên ta có phương trình: \(x + y + z = 1\;\;\;\left( 1 \right).\)
Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba nên: \(x - y = z\;\;\;\;\left( 2 \right).\)
Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng \(5\) lần phân số thứ ba nên: \(x + y = 5z\;\;\;\;\left( 3 \right).\)
Từ \(((1), \, (2)\) và \((3)\) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\\x - y = z\\x + y = 5z\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\x - y - z = 0\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)\\x + y - 5z = 0\;\;\;\;\;\left( 5 \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - z = 0\\2x = 1\;\;\;\left( {do\;\;\left( 1 \right) + \left( 4 \right)} \right)\\2x - 6z = 0\;\;\;\left( {do\;\;\;\left( 4 \right) + \left( 5 \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = x - z\\z = \frac{1}{6}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\y = \frac{1}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\z = \frac{1}{6}\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy các phân số cần tìm là: \(\frac{1}{2}, \, \, \frac{1}{3}, \, \, \frac{1}{6}. \)
